Question

有以下四個命題：
（1）函數f（x）=x²e^x既無最小值也無最大值；
（2）在區間[-3，3]上隨機取一個數x，使得|x-1|+|x+2|≤5成立的概率為

5

6

；
（3）若不等式（m+n）（

a

m

+

1

n

）≥25對任意正實數m，n恒成立，則正實數a的最小值為16；
（4）已知函數f（x）=

5 x+1 -3，(x≥0) x2+4x+2，(x＜0)

，若方程f（x）=k（x+2）-2恰有三個不同的實根，則實數k的取值范圍是k∈（0，2）；
以上正確的序號是：

 

．

Answer 1

分析：（1）利用導數求函數f（x）=x²e^x最值情況；
（2）利用幾何概型的概率公式進行判斷；
（3）利用基本不等式成立的條件進行判斷；
（4）利用數形結合，判斷方程根的取值情況．

解答：解：（1）f′（x）=xe^x（2+x）．令f′（x）=0，解得x=0或-2．
由f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
∴函數f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）單調遞增；
由f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，
∴函數f（x）在（-2，0上單調遞減．
∴函數f（x）在x=0取得極小值，同時也是最小值f（0）=0；在x=-2取得極大值，f（-2）=

4

e2

．∴（1）錯誤．
（2）|x-1|+|x+2|=

-2x-1，x＜-2 3，-2≤x≤1 2x+1，x＞1

，
則當x＜-2，由|x-1|+|x+2|≤5得-2x-1≤5，即2x≥-6，解得-3≤x＜-2．
當-2≤x≤1，由|x-1|+|x+2|≤5得3≤5，恒成立，此時-2≤x≤1．
當x＞1，由|x-1|+|x+2|≤5得2x+1≤5，即x≤2，解得1＜x≤2，
綜上：不等式|x-1|+|x+2|≤5的解為-3≤x≤2．
∴在區間[-3，3]上隨機取一個數x，使得|x-1|+|x+2|≤5成立的概率為

2-(-3)

3-(-3)

=

5

6

，∴（2）正確．
（3）由（m+n）（

a

m

+

1

n

）=a+1+

an

m

+

m

n

≥a+1+2

an m • m n

=a+2

a

+1=（

a

+1）²，
要使不等式（m+n）（

a

m

+

1

n

）≥25對任意正實數m，n恒成立，
則（

a

+1）²≥25，即

a

+1≥5，即

a

≥4，
∴a≥16，則正實數a的最小值為16，∴（3）正確．
（4）作出函數f（x）的圖象如圖：函數y=k（x+2）-2表示過點A（-2，-2）的直線，當直線的斜率k=0時，此時方程f（x）=k（x+2）-2有兩個不同的根，
當直線經過點（0，2），即k=2時，方程f（x）=k（x+2）-2有兩個不同的根，即當k∈（0，2）時，方程f（x）=k（x+2）-2恰有三個不同的實根，
由圖象可知當k＜0時，方程f（x）=k（x+2）-2也存在三個不同的實根，∴（4）錯誤．
故答案為：（2）（3）．

點評：本題主要考查函數的性質的綜合應用，涉及的知識點較大，綜合性較強，難度較大．