Question

關(guān)于平面向量

a

，

b

，

c

．有下列三個命題：
①若

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

=

c

．
②若

a

=（1，k），

b

=（-2，6），

a

∥

b

，則k=-3．
③非零向量

a

和

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

+

b

的夾角為60°．
其中真命題的個數(shù)有（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：取特殊向量

a

、

b

、

c

，計(jì)算數(shù)量積，可得①不正確；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，得到②正確；設(shè)|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|=λ，則可算出

a

•

b

=

1

2

λ²，

a

•（

a

+

b

）=λ²+

1

2

λ²=

3

2

λ²，|

a

+

b

|=

3

λ，利用向量夾角公式可得

a

與

a

+

b

的夾角為30°，得到③不正確．由此可得正確選項(xiàng)．

解答：解：對于①，取

a

=（1，0），

b

=（2，2），

c

=（2，-3），
則

a

•

b

=

a

•

c

=2，但是

b

≠

c

，故①不正確；
對于②，若

a

∥

b

，則1×6=k×（-2），解之得k=-3．故②正確；
對于③設(shè)|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|=λ，則|

a

-

b

|²=（

a

-

b

）²=λ²，可得

a

•

b

=

1

2

λ²，
∴

a

•（

a

+

b

）=λ²+

1

2

λ²=

3

2

λ²，|

a

+

b

|=

3

λ，
可得則

a

與

a

+

b

的夾角θ滿足cosθ=

a •( a + b )

|a| | a + b |

=

3

2

，所以θ=30°，故③不正確．
綜上所述，正確的只有②
故選B

點(diǎn)評：本題以命題真假的判斷與應(yīng)用為載體，考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量平行的充要條件和向量模與夾角公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．