Question

如圖2-3-25,在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F分別是棱AB、BC的中點,若點M為棱B₁B上的一點,當的值為多少時,能使D₁M⊥平面EFB₁？并給出證明.

圖2-3-25

Answer 1

思路解析:由于E、F為中點,所以猜想M也是中點.

答案:當=1時,能使D₁M⊥平面EFB₁,證明如下:

當M為B₁B中點時,在平面AA₁B₁B內有△A₁MB₁≌△B₁EB,

∴∠B₁A₁M=∠BB₁E.而∠B₁MA₁+∠B₁A₁M=90°,

∴∠B₁MA₁+∠BB₁E=90°.∴A₁M⊥B₁E.

∵D₁A₁⊥平面AA₁B₁B,B₁E平面AA₁B₁B,

∴D₁A₁⊥B₁E.由于A₁M∩D₁A₁=A₁,

∴B₁E⊥平面A₁MD₁.∵D₁M平面A₁MD₁,

∴B₁E⊥D₁M.同理,連結C₁M,可證明B₁F⊥D₁M.

∵B₁E∩B₁F=B₁,∴D₁M⊥平面EFB₁.

  綠色通道:

(1)猜想要和題目中的點的性質相聯(lián)系,見中點找中點是常見的解題策略.

(2)平面內證兩線垂直的方法還可通過三角形中某兩個角的和為直角來判斷.