Question

已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心O，如圖，且，|BC|=2|AC|．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果橢圓上兩點P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實數λ，使，請給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設所求橢圓的方程為：=4，由已知易得△AOC是等腰直角三角形，進而求出C點坐標，代入求出b²的值后，可得橢圓的方程．
（2）設直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，聯立PC與橢圓方程，結合C在橢圓上，求出求x_P=，同理x_Q=，代入斜率公式可得k_PQ=，由對稱性求出B點坐標，可得k_AB=，即k_PQ=k_AB，即與共線，再由向量共線的充要條件得到答案．
解答：解：（1）以O為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系，
則A（2，0），設所求橢圓的方程為：=4（0＜b＜1），由橢圓的對稱性知|OC|=|OB|，
由•=0得AC⊥BC，
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C的坐標為（1，1），
∵C點在橢圓上
∴=4，
∴b²=，所求的橢圓方程為x²+3y²=4．
（Ⅱ）由于∠PCQ的平分線垂直OA（即垂直于x軸），
不妨設直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，
直線PC的方程為：y=k（x-1）+1，直線QC的方程為y=-k（x-1）+1，
由得：（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）
∵點C（1，1）在橢圓上，
∴x=1是方程（*）的一個根，則其另一根為，設P（x_P，y_P），?Q（x_Q，y_Q），x_P=，同理x_Q=，
k_PQ=
而由對稱性知B（-1，-1），又A（2，0），
∴k_AB=，
∴k_PQ=k_AB，
∴與共線，且≠0，即存在實數λ，使=λ．
點評：本題考查的知識點是橢圓的方程，直線與橢圓的綜合應用，向量共線的充要條件，其中（2）綜合了聯立方程，設而不求，韋達定理，向量共線，斜率公式等諸多知識點，綜合性強，運算強度大，屬于難題．