已知橢圓E:
+
=1(a>b>0),以拋物線y2=8x的焦點為頂點,且離心率為
.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若F為橢圓E的左焦點,O為坐標原點,直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足
=
+
,證明·
為定值,并求出該值.
（1）
+
=1 （2）
，證明見解析
解析解:(1)拋物線y2=8x的焦點為(2,0),
又橢圓以拋物線焦點為頂點,
∴a=2,
又e=
=,
∴c=1,∴b2=3.
∴橢圓E的方程為+=1.
(2)由(1)知,F(-1,0),
由
消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
∵l與橢圓交于兩點,
∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
即m2<4k2+3.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1、x2是上述方程的兩個根,
∴x1+x2=-
,x1·x2=
,
又y1+y2=kx1+m+kx2+m
=k(x1+x2)+2m
=
∴=+=（-,）,
由點P在橢圓上,得
+
=1.
整理得4m2=3+4k2,
又Q(-4,-4k+m),
∴=(-3,-4k+m).
∴
·=（-,）·(-3,m-4k)
=
+
=
=.
即·為定值.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的兩個焦點是
)和
，并且經過點
，拋物線的頂點E在坐標原點，焦點恰好是橢圓C的右頂點F．
（1）求橢圓C和拋物線E的標準方程；
（2）過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2，l1交拋物線E于點A、B，l2交拋物線E于點G、H，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系中，若
，且
.
（1）求動點
的軌跡
的方程；
（2）已知定點
，若斜率為
的直線
過點
并與軌跡交于不同的兩點
，且對于軌跡上任意一點
，都存在
，使得
成立，試求出滿足條件的實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,已知拋物線C1:x2+by=b2經過橢圓C2:+=1(a>b>0)的兩個焦點.
(1)求橢圓C2的離心率;
(2)設點Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△QMN的重心在拋物線C1上,求C1和C2的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示,設橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標準方程;
(2)過B1作直線交橢圓于P、Q兩點,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示,設P是拋物線C1:x2=y上的動點,過點P作圓C2:x2+(y+3)2=1的兩條切線,交直線l:y=-3于A、B兩點.
(1)求圓C2的圓心M到拋物線C1準線的距離;
(2)是否存在點P,使線段AB被拋物線C1在點P處的切線平分?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
平面內與兩定點
、
（
）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上
、
兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線．求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值得關系．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知線段AB的兩個端點A,B分別在x軸、y軸上滑動,|AB|=3,點M滿足2
=
.
(1)求動點M的軌跡E的方程.
(2)若曲線E的所有弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分,求實數k的取值范圍.
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直線
與拋物線
沒有交點；
方程
表示橢圓；若
為真命題，試求實數
的取值范圍.