Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若函數在上有且只有一個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

(1) 求導函數,對其進行因式分解,對分成,,,幾類進行討論,從而可確定函數的單調性與單調區間；

(2) 對分成,,,,幾類,利用函數的單調性和零點存在性定理,由在上有且只有一個零點,求解參數范圍.

解：（1）定義域為，，

（Ⅰ）當時，；，

即在上單調遞減，在上單調遞增；

（Ⅱ）當時，由，得或，

（i）若，則，所以在上單調遞增；

（ii）若，則，或；，

即在，上單調遞增，在上單調遞減，

（iii）若，則或；，

即在，上單調遞增，在上單調遞減.

（2）（Ⅰ）當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

時，，，所以在上有兩個零點；

（Ⅱ）當時，，令得，又知當時，當時，，此時在上有且只有一個零點；

（Ⅲ）當時,

（i）當時，由（1）知在上單調遞增，，

此時在上有且只有一個零點；

（ii）當時，由（1）結合的單調性，只需討論的符號，

當時，，在上有且只有一個零點；

當時，，在上無零點；

（iii）若由（1）結合的單調性，，，此時在上有且只有一個零點.

綜上所述，.