Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，平面ABPM⊥平面ABCD，PB⊥AB，MA∥PB，PB=AB=2MA
（1）證明：DC⊥平面PBC
（2）AC∥平面PMD．

Answer 1

分析：（1）由面ABPM⊥平面ABCD，PB⊥AB，借助于面面垂直的性質(zhì)定理可得PB垂直于底面ABCD，則PB垂直于DC，根據(jù)底面是正方形得到DC垂直于BC，由線面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（2）由PB=2MA，可想到取PD和BD中點(diǎn)E，O，再借助于三角形的中位線性質(zhì)可得四邊形AOEM為平行四邊形，即能證明
AC平行于平面PMD內(nèi)的一條直線，從而證得結(jié)論．

解答：證明：（1）如圖，
∵平面ABPM⊥平面ABCD，平面ABPM∩平面ABCD=AB，
又PB⊥AB，PB?平面ABPM，∴PB⊥平面ABCD．
又DC?平面ABCD，∴PB⊥DC，
又四邊形ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
而PB∩BC=B，∴DC⊥平面PBC； 
（2）連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，取PD的中點(diǎn)為E，連結(jié)OE，
在△PBD中，OE∥PB，OE=

1

2

PB，
又MA∥PB，AM=

1

2

PB，所以AOEM是平行四邊形，
∴AO∥ME，AC?平面PMD，ME?平面PMD，∴AC∥平面PMD．

點(diǎn)評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了直線與平面平行的判定，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，解答的關(guān)鍵是尋求判定定理成立的條件，是中檔題．