Question

（本小題滿分12分）

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁

(I)若M、N分別是AB，A₁C的中點，求證：MN//平面BCC₁B₁

(II)若三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱長均為2，∠B₁BA＝∠B₁BC＝60°，P為線段B₁B上的動點，當PA＋PC最小時，求證：B₁B⊥平面APC。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：連接推出MN MN//.

（Ⅱ）將平面展開到與平面 共面,

到的位置，此時為菱形，

即為的最小值，

由,推出,，即，，

進一步得到.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：連接則,因為AM=MB,所以MN……………3分

又,

所以MN//.…………5分

（Ⅱ）將平面展開到與平面 共面,

到的位置，此時為菱形，…………7分

可知

即為的最小值，…………9分

此時，,

所以,，即，，

所以，.……………12分

考點：本題主要考查立體幾何中的平行關系、垂直關系。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，（2）小題，將立體問題轉化成平面問題，這也是解決立體幾何問題的一個基本思路。。