Question

（本小題滿分12分）

定義在R上的函數f(x)滿足：如果對任意x,x∈R，都有f()≤［f(x］，則稱函數f(x)是R上的下凸函數.

已知二次函數f(x)= x+x(∈R, ≠0).

（1）求證：當＞0時，函數f(x)是下凸函數.

（2）如果x∈［0,1］時，|f(x)|≤1都成立，試求實數的范圍.

Answer 1

（1）對任意x＞0,∴［f(x)+ f (x)］-2 f(［()］=x≥0.

∴f(≤［f ］. ∴函數f(x)是凹函數; （5分）

(2)由| f(x)|≤1-1≤f(x) ≤1 -1≤+x≤1.(*)

當x=0時，∈R;當x∈(0,1］時，(*)即

即∵x∈(0,1］,∴≥1.∴當=1時，-(+)-取得最大值是-2；當=1時，(-)-取得最小值是0.

∴-2 ≤≤0 ,結合≠0，得-2≤＜0.綜上，的范圍是［-2,0).（12分）