Question

對于數列{x_n}，如果存在一個正整數m，使得對任意的n（n∈N^*）都有x_n+m=x_n成立，那么就把這樣一類數列{x_n}稱作周期為m的周期數列，m的最小值稱作數列{x_n}的最小正周期，以下簡稱周期．例如當x_n=2時，{x_n}是周期為1的周期數列，當yn=sin(

π

2

n)時，{y_n}的周期為4的周期數列．
（1）設數列{a_n}滿足a_n+2=λ•a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁+a，a₂=b（a，b不同時為0），且數列{a_n}是周期為3的周期數列，求常數λ的值；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，且4S_n=（a_n+1）²．
①若a_n＞0，試判斷數列{a_n}是否為周期數列，并說明理由；
②若a_na_n+1＜0，試判斷數列{a_n}是否為周期數列，并說明理由．
（3）設數列{a_n}滿足a_n+2=-a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁=1，a₂=2，b_n=a_n+1，數列{b_n}的前n項和S_n，試問是否存在p、q，使對任意的n∈N^*都有p≤

Sn

n

≤q成立，若存在，求出p、q的取值范圍；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用數列{a_n}是周期為3的周期數列以及a_n+2=λ•a_n+1-a_n可以推得（λ+1）（a_n+2-a_n+1）=0即可求常數λ的值；
（2）先利用4S_n=（a_n+1）²求得a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（n≥2）．
①由a_n＞0得a_n-a_n-1=2（n≥2），求出數列{a_n}的通項公式即可判斷數列{a_n}是否為周期數列；
②由a_na_n+1＜0的a_n=-a_n-1（n≥2），求出數列{a_n}的通項公式即可判斷數列{a_n}是否為周期數列；
（3）先由數列{a_n}滿足a_n+2=-a_n+1-a_n（n∈N^*），推得數列{a_n}以及數列{b_n}是周期為3的周期數列，求出數列{b_n}的前3項，即可求出數列{b_n}的前n項和S_n以及數列{b_n}的前n項和S_n的取值范圍，即可求出對應的p、q的取值范圍．

解答：解：由（1）數列{a_n}是周期為3的數列，
得a_n+3=a_n，且

an+2=λ an+1-an  an+3=λan+2-an+1

?（λ+1）（a_n+2-a_n+1）=0，即λ=-1．

（2）當n=1時，s₁=a₁，4s₁=（a₁+1）²?a₁=1，
當n≥2時，4a_n=4s_n-4s_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．?（a_n-1）²=（a_n-1+1）²，即a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（n≥2）．
①由a_n＞0有a_n-a_n-1=2（n≥2），則{a_n}為等差數列，即a_n=2n-1，
由于對任意的n都有a_n+m≠a_n，所以數列{a_n}不是周期數列．
②由a_na_n+1＜0有a_n=-a_n-1（n≥2），數列{a_n}為等比數列，即a_n=（-1）^n-1，
即a_n+2=a_n對任意n都成立．
即當a_na_n+1＜0時是{a_n}周期為2的周期數列．

（3）假設存在p，q．滿足題設．
于是

an+2=-an+1-an an+3=-an+2-an+1

?a_n+3=a_n，又b_n=a_n+1則b_n+3=b_n，
所以{b_n}是周期為3的周期數列，所以{b_n}的前3項分別為2，3，-2．
則s_n=

n       n=3k n+1     n=3k-2 n+3     n=3k-1

，
當n=3k時，

sn

n

=1；
當n=3k-2時，

sn

n

=1+

1

n

?1＜

sn

n

≤2；
當n=3k-1時，

sn

n

=1+

3

n

?1＜

sn

n

≤

5

2

，
綜上1≤

sn

n

≤

5

2

，
為使p≤

sn

n

≤q恒成立，只要p≤1，q≥

5

2

即可．
綜上，存在p≤1，q≥

5

2

滿足題設．

點評：本題是在新定義下對數列知識的綜合考查，屬于數列中的難題．一般數列出大題，要么是非常容易，在第一第二大題；要么就是很難的題目．