Question

已知函數f(x)滿足f(1)=

1

4

，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)，xy∈R，則f（2013）-f（2012）=

 

．

Answer 1

分析：由于題目問的是f（2012），項數較大，故馬上判斷函數勢必是周期函數，所以集中精力找周期即可；周期的尋找方法可以是不完全歸納推理出，也可以是演繹推理得出．

解答：解：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
取x=1，y=0得f（0）=

1

2

，
∵f（1）=

1

4

取x=1，y=1得f（2）=-

1

4

取x=2，y=1得f（3）=-

1

2

取x=2，y=2得f（4）=-

1

4

取x=3，y=2得f（5）=-

7

16

取x=3，y=3得f（6）=

1

2

猜想得周期為6
∴f（2012）=f（2）=-

1

4

；f（2013）=f（3）=-

1

2

，
∴f（2013）-f（2012）=-

1

2

+

1

4

=-

1

4

．
故答案為：-

1

4

．

點評：本題考查抽象函數的應用，賦值法的應用，準確找出周期是此類問題（項數很大）的關鍵，分別可以用歸納法和演繹法得出周期，考查計算能力．