Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ.

（1）求C1的直角坐標(biāo)方程與C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知射線與C1交于O，P兩點，與C2交于O，Q兩點，且Q為OP的中點，求α.

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y；x2+（y﹣2）2＝4;（2）α

【解析】

（1）利用代入消參法把參數(shù)方程化成直角坐標(biāo)方程；用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式進行求解即可；

（2）將直角坐標(biāo)方程為x2＝4y，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程，通過解方程和特殊角的三角函數(shù)值求出α.

（1）曲線C1的參數(shù)方程（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2＝4y.

曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2＝4y，整理得x2+（y﹣2）2＝4.

（2）射線與C1交于O，P兩點，

直角坐標(biāo)方程為x2＝4y，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為ρ2cos2α＝4ρsinα，整理得.

與C2交于O，Q兩點，所以ρ1＝4sinα，

且Q為OP的中點，所以，

整理得，

整理得

解得α.