Question

（2012•商丘二模）已知

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），M，N是橢圓的左、右頂點，P是橢圓上任意一點，且直線PM、PN的斜率分別為k₁，k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值為1，則橢圓的離心率為（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：設(shè)P（ acosα，bsinα），求出k₁和k₂ 的值，化簡|k₁|+|k₂|=

2b

asinα

≥

2b

a

，可得

2b

a

=1，即a=2b，再由 e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3b2

2b

求得結(jié)果．

解答：解：設(shè)P（ acosα，bsinα），∵M(jìn)（a，0），則N（-a，0），∴k₁=

bsinα

acosα-a

，k₂=

bsinα

acosα+a

．
∴|k₁|+|k₂|=

bsinα

a(1-cosα)

+

bsinα

acosα+a

=

bsinα(1+cosα)+bsinα(1-cosα)

a(1-cosα)(1+cosα)

=

2bsinα

asin2α

=

2b

asinα

≥

2b

a

，
由題意可得

2b

a

=1，即a=2b，故 e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3b2

2b

=

3

2

，
故選C．

點評：本題考查橢圓的有關(guān)性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算與不等式的有關(guān)知識，有一定的難度，注意加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．