Question

設函數f（x）=a•sin（x+α₁）+b•sin（x+α₂），其中a，b，α₁，α₂為已知實常數，下列關于函數f（x）的性質判斷正確的命題的序號是______．
①若f(0)=f(

π

2

)=0，則f（x）=0對任意實數x恒成立；
②若f（0）=0，則函數f（x）為奇函數；
③若f(

π

2

)=0，則函數f（x）為偶函數．

Answer 1

若f（0）=0，則f（0）=a•sin（α₁）+b•sin（α₂）=0，
f（-x）+f（x）=a•sin（-x+α₁）+b•sin（-x+α₂）+a•sin（x+α₁）+b•sin（x+α₂）=0，
∴函數f（x）為奇函數；
若f（

π

2

）=0，則f（

π

2

）=a•sin（

π

2

+α₁）+b•sin（

π

2

+α₂）=-a•cos（α₁）-b•cos（α₂）=0，
∴f（-x）-f（x）=a•sin（-x+α₁）+b•sin（-x+α₂）-a•sin（x+α₁）-b•sin（x+α₂）=0，
∴函數f（x）為偶函數；
對于①若f（0）=f（

π

2

）=0，則函數f（x）為奇函數，也為偶函數，∴f（x）=0對任意實數x恒成立；
對于②，若f（0）=0，則函數f（x）為奇函數為真命題；
對于③，若f(

π

2

)=0，則函數f（x）為偶函數為真命題．
故答案為：①②③