Question

國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某種鉆石的價值（美元）與其重量（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該鉆石的價值為54000美元．
（Ⅰ）寫出鉆石的價值y關于鉆石重量x的函數關系式；
（Ⅱ）把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為m克拉和n克拉，試證明：當m=n時，價值損失的百分率最大．
（注：價值損失的百分率=

原有價值-現有價值

原有價值

×100%；在切割過程中的重量損耗忽略不計）

Answer 1

分析：（Ⅰ）設價值與重量的關系式為y=kx²；3克拉的鉆石價值是54000美元，代入上式，可得k的值，從而得函數關系式．
（Ⅱ）兩顆鉆石的重量為m、n克拉，原有價值是6000（m+n）²，現有價值是6000m²+6000n²；價值損失的百分率為：

6000(m+n)2-6000m2-6000n2

6000(m+n)2

×100%，化簡整理，得其最大值，即鉆石價值損失的最大百分率．

解答：解：（Ⅰ）由題意，可設價值與重量的關系式為y=kx²；
∵3克拉的鉆石價值是54000美元，∴54000=k•3²，解得：k=6000，∴y=6000•x²；
所以，此鉆石的價值與重量的函數關系式為y=6000•x²．
（Ⅱ）若兩顆鉆石的重量為m、n克拉，則原有價值是6000（m+n）²，
現有價值是6000m²+6000n²；價值損失的百分率為：

6000(m+n)2-6000m2-6000n2

6000(m+n)2

×100%=

2mn

(m+n)2

×100%≤

2×( m+n 2 )2

(m+n)2

=

1

2

，當且僅當m=n時取等號；
所以，當m=n時，鉆石價值損失的百分率最大．

點評：本題考查了正比例函數模型的應用，和基本不等式變形為(

a+b

2

)2≥ab（其中a＞0，b＞0）的應用，是中檔題．