Question

下列說法正確的為

①③④⑤

．
①函數y=f（x）與直線x=1的交點個數為0或l；
②集合A={x|x²-3x-10≤0}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，若B⊆A，則-3≤a≤3；
③函數y=f（2-x）與函數y=f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱；
④函數y=lg（x²+x+a）的值域為R 的充要條件是：a∈(-∞，

1

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]；
⑤與函數y=f（x）-2關于點（1，-1）對稱的函數為y=-f（2-x）．

Answer 1

分析：①根據函數的定義可知，對任意的x都有唯一的y與之對應，考慮當x=1在與不在定義域內兩種情況即可；
②B⊆A，需要考慮集合B為空集；
③函數y=f（2-x）圖象上任取一點P（x，y），其關于直線x=2對稱對稱的點Q（4-x，y），把Q代入y=f（x-2）=f（4-x-2）=f（2-x），可判斷；
④函數f（x）=lg（x²+x+a）的值域為R，則△=1-4a≥0，可求a的范圍；
⑤在所求函數上取點（x，y），關于點（1，-1）對稱點的坐標為（m，n），則x+m=2，y+n=-2，利用代入法可求得結論．

解答：解：①根據函數的定義可知，對任意的x都有唯一的y與之對應，當x=1不在定義域內時，y=f（x）與x=1沒有交點，當x=1在定義域時，函數y=f（x）與直線x=l的交點為l個，從而可得y=f（x）與x=1的交點有1個或0個，故①正確
②集合A={x|x²-3x-10≤0}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，若B⊆A，需要考慮集合B為空集，則a≤3，故②不正確；
③函數y=f（2-x）圖象上任取一點P（x，y），關于直線x=2對稱對稱的點Q（4-x，y），把Q代入y=f（x-2）=f（4-x-2）=f（2-x），即函數y=f（2-x）上的任意一點關于直線x=2對稱對稱的點在y=f（x-2）上，即y=f（2-x）與函數y=f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱，故③正確
④函數f（x）=lg（x²+x+a）的值域為R，則△=1-4a≥0，∴a≤

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，故④正確；
⑤在所求函數上取點（x，y），關于點（1，-1）對稱點的坐標為（m，n），則x+m=2，y+n=-2，∴m=2-x，n=-2-y，
∵n=f（m）-2，∴-2-y=f（2-x）-2，即y=-f（2-x），故⑤正確．
故正確的命題為①③④⑤
故答案為①③④⑤

點評：本題主要考查了函數的定義，對數函數的單調性在值域求解中的應用，考查函數的對稱性，綜合性強．