Question

已知實數a滿足0＜a≤2，a≠1，設函數f （x）＝x³－x²＋ax．

（Ⅰ）當a＝2時，求f （x）的極小值；

（Ⅱ）若函數g（x）＝x³＋bx²－（2b＋4）x＋ln x （b∈R）的極小值點與f （x）的極小值點相同．求證：g（x）的極大值小于等于．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】(I)當a=2時，求導利用導數求極小值即可.極值點左側值為負，右側值為正，則為極小值點.

（II）分別利用導數求出g(x)和f(x)的極小值，根據極小值點相等，得到a,b的等式關系，

從而可,然后根據g（x）_極大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b

＝－3＋ ＝,,令,,顯然F(a)是單調增函數，從而可知其最大值，再證明F（a）的最大值，問題得證.

解：（Ⅰ） 解: 當a＝2時，f ′（x）＝x²－3x＋2＝（x－1）（x－2）．

    列表如下：

x	（－，1）	1	（1，2）	2	（2，＋）
f ′（x）	＋	0	－	0	＋
f （x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以，f （x）極小值為f （2）＝．          …………………………………5分

（Ⅱ） 解：f ′（x）＝x²－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）．

g ′（x）＝3x²＋2bx－（2b＋4）＋＝．

令p（x）＝3x²＋（2b＋3）x－1，

（1） 當 1＜a≤2時，

f （x）的極小值點x＝a，則g（x）的極小值點也為x＝a，

所以p(a)＝0，

即3a²＋（2b＋3）a－1＝0，

即b＝，

此時g（x）_極大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b

＝－3＋ ＝．

由于1＜a≤2，

故 ≤2－－＝．………………………………10分

（2） 當0＜a＜1時，f （x）的極小值點x＝1，則g（x）的極小值點為x＝1，

由于p（x）＝0有一正一負兩實根，不妨設x₂＜0＜x₁，所以0＜x₁＜1，

即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－．

此時g（x）的極大值點x＝x₁，

有 g（x₁）＝x₁³＋bx₁²－（2b＋4）x₁＋lnx₁＜1＋bx₁²－（2b＋4）x₁

＝（x₁²－2x₁）b－4x₁＋1　  （x₁²－2x₁＜0）

＜－（x₁²－2x₁）－4x₁＋1

＝－x₁²＋x₁＋1＝－（x₁－）²＋1＋   （0＜x₁＜1）≤＜．

綜上所述，g（x）的極大值小于等于．    ……………………14分