Question

（本小題滿分12分）

已知數(shù)列，滿足：，當(dāng)時(shí)，；對(duì)于任意的正整數(shù)，

．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（Ⅰ）計(jì)算、，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求滿足的正整數(shù)的集合.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ） 

【解析】（1）由，當(dāng)時(shí)，；令可求出猜想用數(shù)學(xué)歸納法證明.或者判斷數(shù)列是等差數(shù)列求解；（2）由和，兩式相減結(jié)合可求出錯(cuò)位相減法求出，解不等式，即解得.

（Ⅰ）在中，取，得，又，故 

同樣取，可得 

由及兩式相減，可得，

所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列，公差為，而，

故是公差為的等差數(shù)列，   ……………………………………………… （6分）

(注：猜想而未能證明的扣分；用數(shù)學(xué)歸納法證明不扣分.)

（Ⅱ）在中，令，得

由與兩式相減，可得，

化簡(jiǎn)，得.

即當(dāng)時(shí)，.

經(jīng)檢驗(yàn)也符合該式，所以的通項(xiàng)公式為.

∴.

.

兩式相減，得.

利用等比數(shù)列求和公式并化簡(jiǎn),得.

可見，對(duì)，.經(jīng)計(jì)算，，

注意到數(shù)列的各項(xiàng)為正，故單調(diào)遞增，

所以滿足的正整數(shù)的集合為  ……………………………… （12分）