Question

設(shè)三角函數(shù)f(x)=sin(

kπ

5

+

π

3

)，其中k≠0．
（1）寫出f（x）極大值M、極小值m與最小正周期；
（2）試求最小的正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時(shí)，函數(shù)f（x）至少有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f(x)=sin(

kπ

5

+

π

3

)最大值為1，最小值為-1，ω=

kπ

5

進(jìn)而根據(jù)T=

2π

ω

可得函數(shù)的周期．
（2）f（x）在它的每一個(gè)周期中都恰好有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m．而任意兩個(gè)整數(shù)間的距離都≥1，因此要使任意兩個(gè)整數(shù)間函數(shù)f（x）至少有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m，必須且只須使f（x）的周期≤1，進(jìn)而可知

10π

|k|

≤1，可得k的范圍．

解答：解：（1）M=1，m=-1，T=

5×2π

|k|

=

10π

|k|

．
（2）f（x）在它的每一個(gè)周期中都恰好有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m．
而任意兩個(gè)整數(shù)間的距離都≥1，
因此要使任意兩個(gè)整數(shù)間函數(shù)f（x）至少有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m，
必須且只須使f（x）的周期≤1，
即：

10π

|k|

≤1，|k|≥10π=31.4．
可見，k=32就是這樣的最小正整數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．