Question

（06年湖南卷文）（14分）

在m（m≥2）個不同數的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m時P_i＞P_j（即前面某數大于后面某數），則稱P_i與P_j構成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數. 記排列的逆序數為a_n，如排列21的逆序數，排列321的逆序數.

（Ⅰ）求a₄、a₅，并寫出a_n的表達式；

（Ⅱ）令，證明，n=1,2,….

Answer 1

解析：（Ⅰ）由已知得，

　　.

    （Ⅱ）因為，

　　　　　所以.

          又因為，

　　　　　所以

　　　　　　　　　　　　　 =.

          綜上，.