Question

給出下列命題：
①y=1是冪函數；
②函數f（x）=2^x-log₂x的零點有1個；
③實數a=0.2 

2

，b=log 

2

0.2，c=

2

0.2的大小關系是b＜c＜a．
④設

a

，

b

，

c

，是單位向量，且

a

•

b

=0，則（

a

-

c

）•（

b

-

c

）的最大值為1+

2

          
⑤函數y=x+

1

x-1

（x≥3）的最小值為3．
其中真命題的序號是

④

（把你認為正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：①根據冪函數的定義知，y=1是常數函數，不是冪函數；②函數f（x）=2^x-log₂x的零點個數即為函數y=2^x與y=log₂x的圖象的交點個數，在同一坐標系中畫出它們的圖象即可；③由0＜a=0.2 

2

＜1，b=log 

2

0.2＜0；④由題設條件推導出|

a

+

b

|=

2

．由此得到（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=

a

•

b

-（

a

+

b

）•

c

+

c

2=1-

2

cos＜

a

+

b

，

c

＞，從而能判斷④的正誤；
⑤利用函數單調性進行判斷．

解答：解：在①中，y=1是常數函數，不是冪函數．故①錯誤；
②由函數圖象知：函數f（x）=2^x-log₂x沒有零點，故②錯誤；
③∵0＜a=0.2 

2

＜0.2⁰=1，b=log 

2

0.2＜log

2

1=0，
c=

2

0.2＞

2

0=1，
∴b＜a＜c，故③錯誤；
④∵

a

、

b

、

c

是單位向量，

a

•

b

=0，∴

a

⊥

b

，|

a

+

b

|=

2

．
∴（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=

a

•

b

-（

a

+

b

）•

c

+

c

²=0-（

a

+

b

）•

c

+1=1-|

a

+

b

|•|

c

|cos＜

a

+

b

，

c

＞
=1-

2

cos＜

a

+

b

，

c

＞≤1+

2

，故④正確；
⑤∵函數y=x+

1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1在[3，+∞）上是增函數，
∴當x=3時，函數y=x+

1

x-1

（x≥3）取最小值

7

2

，故⑤錯誤．
故答案為：④．

點評：此題是個基礎題．考查冪函數的概念，零點的求法，平面向量問題等基礎知識，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．