Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)。  （1）若在處的導(dǎo)數(shù)為4，求實數(shù)的值；（2）對滿足的一切的值，都有，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，當(dāng)實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點(diǎn)

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

(1) ,,;(4分)

(2)    ，

    對滿足的一切的值，都有,即 對于 都有;

解法1：上述條件等價于在上;………(6分)

     明顯的,當(dāng)時,不滿足條件;   當(dāng)時, 在上上單調(diào)遞增,

       則,解得:, 所以 ;

    當(dāng)時, 在上上單調(diào)遞減,

      則,解得: ,

      所以不存在；  綜上所得，實數(shù)的取值范圍是;……(10分)

解法2：又由是關(guān)于的一次函數(shù)，因而是一個單調(diào)函數(shù)，它的最值在定義域的端點(diǎn)得到；所以只需  即……(6分)解得：

故實數(shù)的取值范圍是;……(10分)

  （3）,,,

       當(dāng),明顯的與有且只有一交點(diǎn);

    當(dāng)時,令,解得:,

                  令,解得: ;

      在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

        若時，無限大；且與只有一個公共點(diǎn),

只要滿足：，解得： 所以 ；

  當(dāng) 時, 令,解得:,

  令,解得: ;

       在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

若時，無限大；且與只有一個公共點(diǎn),

只要滿足：,解得:  所以 ；

    綜上所述, 實數(shù)的取值范圍是:  ………(14分)