Question

如圖，已知平面a與平面交于a，b在b內．且b與a交于A，c在內，且c∥a，求證b、c是異面直線．

 

Answer 1

答案：
解析：

證法一：假設b、c不是異面直線，它們同在平面g內． ∵平面a、g均過直線c與點A， ∴a與g，a重合a在內．∴a在γ內． 又∵γ與b均過直線a與b， ∴b與γ重合，從而a與b重合，這與題設a與b交于a相矛盾． B、c是異面直線． 證法二：假設b、c不是異面直線，則b與c相交或平行． 若b與c相交，∵a∥c,a與b相交，從而a、b、c在同一平面內．即平面a與b重合，這與題設a與b交于a矛盾． 若b與c平行，∵a∥c，∴a∥b，這與題設a與b交于A矛盾． 綜上可知，b與c是異面直線． 證法三：在b上取一點P(不同于A)，則Pa， ∵ca，Ac，∴PA與c是異面直線。 即b與c是異面直線． 點評：證明兩條直線是異面直線通常用反證法，其中證法二列舉了b、c不是異面直線的兩種情況，相交或平行．證法三利用了教材第14頁例3的結論，該結論就是異面直線的判定方法，以后再判定異面直線時，可直接利用這個結論．