Question

如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1km，某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．

(1)求炮的最大射程；

(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2km，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

 

Answer 1

（1）10km.（2）a≤6

【解析】1)令y＝0，得kx－ (1＋k2)x2＝0，由實際意義和題設條件知x>0，k>0，故x＝＝≤＝10.當且僅當k＝1時取等號．所以炮的最大射程為10km.

(2)因為a>0，所以炮彈可擊中目標?存在k>0，使3.2＝ka－ (1＋k2)a2成立?關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6.所以當a不超過6(km)時，可擊中目標．