Question

已知函數在處取得極值2 ，

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）設A是曲線上除原點O外的任意一點，過OA的中點且垂直于軸的直線交曲線于點B，試問：是否存在這樣的點A,使得曲線在點B處的切線與OA平行？若存在，求出點A的坐標；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）設函數，若對于任意的，總存在，使得，求實數的取值范圍。

Answer 1

（I）

 

………2分

又在處取得極值2

                                   ………………4分

（Ⅱ）由（I）得

假設存在滿足條件的點A,且，則………………6分

………………8分

所以存在滿足條件的點A，此時點A是坐標為或……9分

(Ⅲ) ，令

當變化時，，的變化情況如下表：

				1
	-	0	+	0	-
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

在處取得極小值 ，在處取得極大值

又時，，的最小值為-2………………………11分

對于任意的，總存在，使得

當時，最小值不大于-2

又

當 時，的最小值為，由

得………………………………………12分

當時，最小值為，由，得

當時，的最小值為

由，得或，又，

所以此時不存在。………………………………13分

綜上，的取值范圍是………………………14分

(Ⅲ)解法二：解法過程同上可求出f(x)的最小值為-2

對于任意的，總存在，使得

當時，有解 ，即在有解

設

所以當或時，

(Ⅲ)解法三：解法過程同上可求出f(x)的最小值為-2

對于任意的，總存在，使得

當時，有解

綜上，的取值范圍是.