Question

（本題12分）

設函數，曲線在點M處的切線方程為．

（1）求的解析式；     （2）求函數的單調遞減區間；

（3）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

 

Answer 1

【答案】

（1）的解析式的解析式為：

（2）的單調減區間為

（3）點處的切線與直線，所圍成的三角形面積為

．

【解析】解：（Ⅰ）∵切點在切線上∴將點M代入切線方程解得………1分

由，………2分

根據題意得關于a,b的方程組：

解得：a=1,b=1………3分

所以的解析式的解析式為：………4分

（Ⅱ）由() ……5分

 令，解得：………7分

所以的單調減區間為……8分

（Ⅲ）（Ⅱ）設為曲線上任一點，由知曲線在點處的切線方程為

，

即．

令得，從而得切線與直線的交點坐標為．

令得，從而得切線與直線的交點坐標為．···· 10分

所以點處的切線與直線，所圍成的三角形面積為

．