Question

【題目】已知長方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，現將長方形ABCD沿著對角線BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，則折后幾何圖形的外接球表面積為_____．

Answer 1

【答案】4π

【解析】

設出球心的位置，利用勾股定理列方程組，解方程組求得球的半徑，進而求得球的表面積.

長方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，可得BD＝2，AD，

作AE⊥BD于E，可得AEBD＝ABAD，所以AE，BE，

因為平面ABD⊥平面BCD，AE面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥面BCD，

由直角三角形BCD可得其外接圓的圓心為斜邊BD的中點O1，且外接圓的半徑r1，過O1作OO1垂直于底面BCD，所以EO1＝O1B﹣BE＝1，

所以OO1∥AE，取三棱錐外接球的球心O，設外接球的半徑為R，

作OF⊥AE于F，則四邊形EFOO1為矩形，O1E＝OF，EF＝OO1，則OA＝OC＝OB＝OD＝R，

在△AFO中，OA2＝AF2+OF2＝（AE﹣EF）2+EO12即R2＝（OO1）2；①

在△BOO1中：OB2＝OO12+EO12，即R2＝OO12；②

由①②可得R2＝1，OO1＝0，即外接球的球心為O1，所以外接球的表面積S＝4πR2＝4π，

故答案為：4π