Question

【題目】如圖，三棱柱中， ， ， 分別為棱的中點.

（1）在平面內過點作平面交于點，并寫出作圖步驟，但不要求證明.

（2）若側面側面，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）證線面平行則需在面內找一線與之平行即可平面內，過點作交于點，連結，在中，作交于點，連結并延長交于點，則為所求作直線.（2）根據圖形分別以的方向為軸， 軸， 軸的正方向，然后寫出的坐標，求出面得法向量m，根據即可求得結果.

試題解析：

（1）如圖，在平面內，過點作交于點，連結，在中，作交于點，連結并延長交于點，則為所求作直線.

（2）連結，∵，∴為正三角形.

∵為的中點，∴，

又∵側面側面，且面面，

平面，∴平面，

在平面內過點作交于點，

分別以的方向為軸， 軸， 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則， .

∵為的中點，∴點的坐標為，

∴.

∵，∴，∴，

設平面的法向量為，

由得，

令，得，所以平面的一個法向量為.

設直線與平面所成角為，

則，

即直線與平面所成角的正弦值為.