Question

若函數y=f（x）對定義域D的每一個x₁，都存在唯一的x₂∈D，使f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱f（x）為“自倒函數”，下列命題正確的是

（1），（3）

．（把你認為正確命題的序號都填上）
（1）f（x）=sinx+

2

（x∈[-

π

2

，

π

2

]）是自倒函數；
（2）自倒函數f（x）的值域可以是R
（3）自倒函數f（x）可以是奇函數
（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函數，且定義域相同，則y=f（x）g（x）是自倒函數．

Answer 1

分析：（1）中，由f（x₁）f（x₂）=1，知f（x₂）=

1

f(x1)

，可以求出x₂是滿足條件的；
（2）中，令f（x₁）=0，可以判定f（x₁）f（x₂）=1不成立；
（3）中，當f（x）是奇函數時，不妨設f（x）=

1

x

，其中x∈（-∞，0）∪（0，+∞），驗證滿足條件；
（4）中，令f（x）=g（x）=

1

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），是定義域上的自倒函數，但f（x）g（x）=

1

x2

不是自倒函數，驗證可得；

解答：解：在（1）中，∵f（x）=sinx+

2

（x∈[-

π

2

，

π

2

]），
∴任取x₁∈[-

π

2

，

π

2

]，有sinx₁∈[-1，1]，
∴f（x₁）=sinx₁+

2

，且f（x₁）∈[

2

-1，

2

+1]；
由f（x₁）f（x₂）=1，得f（x₂）=

1

f(x1)

=

1

sinx1+ 2

，即sinx₂+

2

=

1

sinx1+ 2

，
∴sinx₂=

1

sinx1+ 2

-

2

，且sinx₂∈[-1，1]，
∴x₂=arcsin（

1

sinx1+ 2

-

2

），其中x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴f（x）是[-

π

2

，

π

2

]上的自倒函數；
在（2）中，因為f（x）的值域是R，所以當f（x₁）=0時，f（x₁）•f（x₂）=0，命題不成立，
∴f（x）不是自倒函數；
在（3）中，當f（x）是奇函數時，不妨設f（x）=

1

x

，其中x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
則任取x₁∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（x₁）=

1

x1

∈（-∞，0）∪（0，+∞），
由f（x₁）•f（x₂）=

1

x1

•

1

x2

=1，得x₂=

1

x1

，其中x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），
∴f（x）是定義域上的自倒函數；
在（4）中，當y=f（x），y=g（x）都是自倒函數，且定義域相同時，函數y=f（x）g（x）不一定是自倒函數，例如f（x）=g（x）=

1

x

，其中x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
y=f（x）g（x）=

1

x2

不是自倒函數，因為由

1

x12

•

1

x22

=1，得x22=

1

x12

，
∴x₂=±

1

x1

不唯一，∴命題不成立；
故答案為：（1），（3）．

點評：本題考查了新概念下的函數的性質與運算，解決此類問題時，要深刻把握新概念函數的內涵與外延，從而正確解答問題．