Question

【題目】已知函數.

（1）判斷極值點的個數；

（2）若x>0時，恒成立，求實數的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）0

（2）

【解析】

（1）求導，根據導數與函數單調性及極值的關系，分別求得函數f（x）極值點的個數；

（2）ex＞f（x），（x＞0），可化為（1﹣x）ex+ax﹣1＜0．設h（x）＝（1﹣x）ex+ax﹣1，（x＞0），則問題等價于當x＞0時，h（x）＜0．，根據函數h（x）的性質，分類討論，即可求得實數a的取值范圍．

（1）由f（x）a，得f'（x）．x≠0；

設g（x）＝（x﹣1）ex+1，則g'（x）＝xex，

當x∈（﹣∞，0）時，g'（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，0）上是減函數，

當x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上是增函數，

所以g（x）≥g（0）＝0，所以，

所以f（x）在定義域上是增函數，f（x）極值點個數為0．

（2）ex＞f（x）（x＞0），可化為（1﹣x）ex+ax﹣1＜0．

令h（x）＝（1﹣x）ex+ax﹣1，（x＞0），則問題等價于當x＞0時，h（x）＜0．

∴h'（x）＝﹣xex+a，

令m（x）＝﹣xex+a，則m（x）在（0，+∞）上是減函數．

當a≤0時，m（x）<m（0）＝a≤0．

所以h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上是減函數．

所以h（x）＜h（0）＝0．

②當a＞0時，m（0）＝a＞0，

m（a）＝﹣aea+a＝a（1﹣ea）＜0，

所以存在x0∈（0，a），使m（x0）＝0．

當x∈（0，x0）時，m（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（0，x0）上是增函數．

因為h（0）＝0，所以當x∈（0，x0）時，h（x）＞0，不滿足題意．

綜上所述，實數a的取值范圍是（﹣∞，0]．