Question

（2013•樂山一模）已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．
（Ⅰ）證明：BN⊥平面C₁NB₁；
（Ⅱ）求平面CNB₁與平面C₁NB₁所成角的余弦值；

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，可得BA，BC，BB₁兩兩垂直，以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，用坐標表示點、向量，利用數量積證明NB⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，即可證明BN⊥平面C₁NB₁．
（Ⅱ）

BN

是平面C₁B₁N的一個法向量

n1

=(4，4，0)，求出平面NCB₁的一個法向量

n2

=(1，1，2)，利用向量的數量積，可求
二面角C-NB₁-C₁的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵該幾何體的正視圖為矩形，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．
以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖．--------------（2分）

則B（0，0，0），N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）．
∴

BN

•

NB1

=(4，4，0)•(-4，4，0)=-16+16=0，

BN

•

B1C1

=(4，4，0)•(0，0，4)=0．------------（4分）
∴NB⊥NB₁，BN⊥B₁C₁．
又NB₁與B₁C₁相交于B₁，∴BN⊥平面C₁NB₁．-------------------（6分）
（Ⅱ）解：∵BN⊥平面C₁NB₁，∴

BN

是平面C₁B₁N的一個法向量

n1

=(4，4，0)，------------（8分）
設

n2

=(x，y，z)為平面NCB₁的一個法向量，則

n2 • CN =0 n2 • NB1 =0

，∴

x+y-z=0 x-y=0

所以可取

n2

=(1，1，2)．------------（10分）
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

3

∴所求二面角C-NB₁-C₁的余弦值為

3

3

．------------（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是構建空間直角坐標系，確定平面的法向量．