Question

如圖，一艘海輪從A出發，沿北偏東75°的方向航行60n mile到達海島B，然后從B出發，沿北偏東15°的方向航行20n mile到達海島C．如果下次航行直接從A出發到達C，此船需要航行多少距離（保留準確值）？此時∠CAB的正弦值是多少？

Answer 1

分析：由題意，結合圖形知，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=60，BC=20，故可由余弦定理求出邊AC的長度，由于此時在△ABC中，∠ABC=120°，三邊長度已知，故可由正弦定理建立方程

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠ABC

，求出∠CAB的正弦值

解答：解：由題意，在△ABC中，∠ABC=180°-75°+15°=120°，AB=60，BC=20
根據余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cos∠ABC=60²+20²+60×20=100×（36+4+12）=5200，
所以AC=20

13

．
根據正弦定理，

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠ABC

，
sin∠BAC=

BCsin∠ABC

AC

=

20×sin120°

20 13

=

39

26

．
答：此船需要航行20

13

n mile，∠ABC的正弦值是

39

26

點評：本題是解三角形在實際問題中的應用，考查了正弦定理、余弦定理，方位角等知識，解題的關鍵是將實際問題中的距離、角等條件轉化到一個三角形中，正弦定理與余弦定理求角與邊，解三角形在實際測量問題-遙測中有著較為廣泛的應用，此類問題求解的重點是將已知的條件轉化到一個三角形中方便利用解三角形的相關公式與定理，本題考查了轉化的思想，方程的思想．