Question

 設(shè)曲線Ｃ：的離心率為，右準(zhǔn)線與兩漸近線交于Ｐ，Ｑ兩點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為Ｆ，且△PQF為等邊三角形。
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）若雙曲線C被直線截得弦長(zhǎng)為，求雙曲線方程；
（3）設(shè)雙曲線C經(jīng)過(guò)，以F為左焦點(diǎn)，為左準(zhǔn)線的橢圓的短軸端點(diǎn)為B，求BF 中點(diǎn)的軌跡N方程。

Answer 1

（1）2
（2）或
（3）（或）

⑴如圖：易得P                           
設(shè)右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為M，
∵△PQF為等邊三角形
∴|MF|=|PM|                                   
∴
化簡(jiǎn)得：                                       
∴
∴            
⑵ 由⑴知：
∴雙曲線方程可化為：，即   
聯(lián)列方程：
消去得：
由題意：   （*）                           
設(shè)兩交點(diǎn)A，B
則
∴|AB|==
化簡(jiǎn)得：，即
解得：或，均滿足（*）式              
∴ 或
∴所求雙曲線方程為：或   
⑶由⑴知雙曲線C可設(shè)為：
∵其過(guò)點(diǎn)A     ∴
∴雙曲線C為：                          
∴其右焦點(diǎn)F，右準(zhǔn)線：
設(shè)BF的中點(diǎn)N，則B               
由橢圓定義得：（其中為點(diǎn)B到的距離）
∴
化簡(jiǎn)得：
∵點(diǎn)B是橢圓的短軸端點(diǎn)，故
∴BF的中點(diǎn)的軌跡方程是：（或）