Question

（本小題滿分14分）已知函數f(x)＝(x2－3x＋3)·ex的定義域為[－2，t](t>－2)，設f(－2)＝m，f(t)＝n.

(1)試確定t的取值范圍，使得函數f(x)在[－2，t]上為單調函數；

(2)求證：n>m；

(3)若t為自然數，則當t取哪些值時，方程f(x)－m＝0(m∈R)在[－2，t]上有三個不相等的實數根，并求出相應的實數m的取值范圍.

Answer 1

解析：(1)因為f′(x)＝(x2－3x＋3)·ex＋(2x－3)·ex＝x(x－1)·ex，

由f′(x)>0⇒x>1或x<0；由f′(x)<0⇒0<x<1，

所以f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減，

欲使f(x)在[－2，t]上為單調函數，則－2<t≤0.

(2)因為f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減，所以f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝e.

又f(－2)＝<e，所以f(x)僅在x＝－2處取得[－2，t]上的最小值f(－2)，

從而當t>－2時，f(－2)<f(t)，即m<n.

(3)由(1)知f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減，

故當t＝0或t＝1時，方程f(x)－m＝0在[－2，t]上不可能有三個不等實根，

所以t≥2，且t∈N.

當t≥2，且t∈N時，方程f(x)－m＝0在[－2，t]上有三個不等實根，

只需滿足m∈(max(f(－2)，f(1))，min(f(0)，f(t)))即可.

因為f(－2)＝，f(0)＝3，f(1)＝e，f(2)＝e2，且f(t)≥f(2)＝e2>3＝f(0)，

因而f(－2)<f(1)<f(0)<f(2)≤f(t)，

所以f(1)<m<f(0)，即e<m<3，

即實數m的取值范圍是(e,3).