Question

設x、y∈R，

i

、

j

為直角坐標平面內x、y軸正方向上的單位向量，

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，且|

a

|+|

b

|=8．
（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設

OP

=

OA

+

OB

，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據向量的表達式和|

a

|+|

b

|的值可推斷出點M（x，y）到兩個定點F₁（0，-2），F₂（0，2）的距離之和為8．根據橢圓的定義判斷出其軌跡為橢圓，進而根據c和a，求得b，則橢圓方程可得．
（2）先看當直線l是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點．根據

OP

=

OA

+

OB

=0可推斷出P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．不可知直線的斜率一定存在，設出直線方程，和A，B的坐標，把直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，根據

OP

=

OA

+

OB

和矩形的性質判斷出OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0．求得x₁x₂+y₁y₂=0，進而求得k．

解答：（1）解：∵

a

=xi+（y+2）j，

b

=xi+（y-2）j，且|

a

|+|

b

|=8，
∴點M（x，y）到兩個定點F₁（0，-2），F₂（0，2）的距離之和為8．
c=2，a=4，則b=

16-4

=2

3

∴軌跡C為以F₁、F₂為焦點的橢圓，方程為

x2

12

+

y2

16

=1．

（2）∵l過y軸上的點（0，3），
若直線l是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點．
∵

OP

=

OA

+

OB

=0，
∴P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．
∴直線l的斜率存在．設l方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=kx+3，

x2

12

+

y2

16

=1，消y得（4+3k²）x²+18kx-21=0．
此時，△=（18k²）-4（4+3k²）＞0恒成立且x₁+x₂=-

18k

4+3k2

，x₁x₂=-

21

4+3k2

．
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴四邊形OAPB是平行四邊形．若存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0．
∵

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
即（1+k²）•（-

21

4+3k2

）+3k•（-

18k

4+3k2

）+9=0，即k²=

5

16

，得k=±

5

4

．
∴存在直線l：y=±

5

4

x+3，使得四邊形OAPB是矩形．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，