Question

（09年長沙一中第八次月考理）(13分)已知直線L：x-y-3=0，拋物線C的頂點在原點，焦點在軸正半軸上，S是拋物線C上任意一點，T是直線L上任意一點，若|ST|的最小值為d>0時,點S的橫坐標為2.

（1）求拋物線方程以及d的值；

（2）過拋物線C的對稱軸上任一點作直線與拋物線交于兩點，點是點關于原點的對稱點.設點分有向線段所成的比為，

證明：；

（3）設R為拋物線準線上任意一點，過R作拋物線的兩條切線，切點分別為M，N，直線MN是否恒過一定點？若恒過定點，請指出定點；若不恒過定點，請說明理由。

Answer 1

解析：（1）設拋物線方程為，

由 

∴，∴拋物線方程為；…………5分

（2）依題意，可設直線的方程為 代入拋物線方程得   

     ①

設兩點的坐標分別是 、、是方程①的兩根.…………6分

所以                                                   

由點分有向線段所成的比為，得

又點與點關于原點對稱，故點的坐標是，從而.

 ……7分

高考資源網版權所有 所以    …………9分

（3）設，，，∵，

∴的方程為；

∵過，∴，同理

∴為方程的兩個根；∴；……11分

又，∴的方程為

∴，顯然直線過點……13分