Question

【題目】2019年12月以來，湖北武漢市發現多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國范圍內開始傳播，專家組認為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個患者后被感染的概率為，某位患者在隔離之前，每天有位密切接觸者，其中被感染的人數為，假設每位密切接觸者不再接觸其他患者.

（1）求一天內被感染人數為的概率與、的關系式和的數學期望；

（2）該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時間，設每位患者在被感染后的第二天又有位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的數學期望記為.

（i）求數列的通項公式，并證明數列為等比數列；

（ii）若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率，當取最大值時，計算此時所對應的值和此時對應的值，根據計算結果說明戴口罩的必要性.（取）

（結果保留整數，參考數據：）

Answer 1

【答案】（1）；.

（2）（i），證明見解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.

【解析】

（1）由題意，被感染人數服從二項分布：，則可求出概率及數學期望；

（2）（i）根據第天被感染人數為，及第天被感染人數為，

作差可得可得，，可證，（ii）利用導數計算此時所對應的值和此時對應的值，根據計算結果說明戴口罩的必要性.

（1）由題意，被感染人數服從二項分布：，

則,，

的數學期望.

（2）（i）第天被感染人數為，

第天被感染人數為，

由題目中均值的定義可知，

則，且.

是以為首項，為公比的等比數列.

（ii）令，

則.

在上單調遞增，在上單調遞減.

.

則當，.

.

.

戴口罩很有必要.