Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，M為PD上的點，若PD⊥平面MAB
（I）求證：M為PD的中點；
（II）求二面角A-BM-C的大小．

Answer 1

分析：（I）由PD⊥平面MAB得到PD⊥MA；再結合PA=AD可以證得△APM≌△AMD；從而得到M為PD的中點；
（II）先建空標系，求出各點的坐標，結合上面的結論求出平面MAB的法向量；再設出平面MBC的法向量，根據其和BC，MC垂直，求出平面MBC的法向量的坐標，最后代入向量的夾角計算公式即可求出間直角坐結論．

解答：解：（Ⅰ） 由PD⊥平面MAB，MA?平面MAB，則PD⊥MA
又PA=AD，則△APM≌△AMD，因而PM=DM，即M為PD的中點；
（II）以A原點，以AE、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
由（I）得：

MP

=（0，-1，1）為平面MAB的法向量，
設平面MBC的法向量n=（x，y，z），
由

MC

=（1，1，-1），

BC

=（0，2，0），
因為

MC

•n=0，

BC

•n=0，即

x+y-z=0 y=0

，
令x=z=1，則n=（1，0，-1），
所以：cos＜

MP

，

n

＞=

0×1+(-1)×0+1×(-1)

02+(-1) 2+1 2 • 1 1+02+(-1)2

=

1

2

，
而二面角A-BM-C鈍角，因而其大小為120°．

點評：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角．用空間向量求平面間的夾角的關鍵是求出兩個半平面的法向量，結合向量的夾角計算公式即可得到答案．