Question

已知定義在實數集R上的函數y=滿足條件：對于任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求f(0)；(2) 求證：是奇函數；(3) 若時，，求在上的值域.

Answer 1

（1）f(0)=0；(2)證明見解析；(3)證明見解析；值域[-4，2]。

本題考點是抽象函數及其運用，考查靈活賦值求函數值以及運用恒等式靈活變形證明函數的單調性，利用復合函數的單調性判斷方程的根的個數，本題涉及到的考點較多，知識性與技巧性都很強，是知識完善結合的一個好題．
（1）令令x=y=0，代入恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）即可求得．
（2）通過賦值法可知函數的奇偶性
（3）根據定義法證明函數的單調性然后，利用單調性得到值域。
（1）f(0)=0；3分
(2)證明略；9分
(3)證明單調性 13分
值域[-4，2]  15分