Question

已知兩個正數x，y滿足x+y=4，則使不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立的實數m的范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意將x+y=4代入

1

x

+

4

y

進行恒等變形和拆項后，再利用基本不等式求出它的最小值，根據不等式恒成立求出m的范圍．

解答：解：由題意知兩個正數x，y滿足x+y=4，
則

1

x

+

4

y

=

x+y

4x

+

x+y

y

=

5

4

+

y

4x

+

x

y

≥

5

4

+1=

9

4

，當

y

4x

=

x

y

時取等號；
∴

1

x

+

4

y

的最小值是

9

4

，
∵不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立，∴m≤

9

4

．
故答案為：m≤

9

4

．

點評：本題考查了利用基本不等式求最值和恒成立問題，利用條件進行整體代換和合理拆項再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的驗證．