Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx，f（x+1）為偶函數，函數f（x）的圖象與直線y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是單調減函數，那么：
①求k的取值范圍；
②是否存在區間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請求出區間[m，n]；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求求f（x）的解析式，先利用f（x）的解析式求得f（x+1）的解析式，結合f（x+1）為偶函數列出等式，再根據函數f（x）的圖象與直線y=x相切，將直線的方程代入二次函數的解析式，利用根的唯一性的條件列出另一個方程．從而求出a，b．問題解決．
（2）①先求函數g（x）的導函數，利用：“函數g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是單調減函數”得其導數恒小于等于0，最后結合二次函數的根的判別式即可求k的取值范圍；
②對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在區間[m，n]（m＜n），再利用二次函數的單調性，求出m，n的值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）∵f（x+1）為偶函數，∴f（-x+1）=f（x+1），
即a（-x+1）²+b（-x+1）=a（x+1）²+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax²-2ax
∵函數f（x）的圖象與直線y=x相切，
∴二次方程ax²-（2a+1）x=0有兩相等實數根，
∴△=（2a+1）²-4a×0=0
∴a=-

1

2

，f(x)=-

1

2

x2+x（4分）

（2）①g(x)=-

1

2

x3+x2-kx，g′(x)=-

3

2

x2+2x-k
∵g（x）在（-∞，+∞）上是單調減函數
∴g′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立．
∴△=4-4(-

3

2

)(-k)≤0，得k≥

2

3

故k的取值范圍為[

2

3

，+∞)（7分）
②∵f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，
∴[km，kn]⊆(-∞，

1

2

]，
∴kn≤

1

2

，又k≥

2

3

，
∴n≤

1

2k

≤

3

4

，
∴[m，n]⊆（-∞，1]，
∴f（x）在[m，n]上是單調遞增函數（9分）
∴

f(m)=km f(n)=kn

即

- 1 2 m2+m=km - 1 2 n2+n=kn

即

m=0，或m=2-2k n=0，或n=2-2k

（11分）
∵m＜n故當

2

3

≤k＜1時，[m，n]=[0，2-2k]；
當k＞1時，[m，n]=[2-2k，0]；當k=1時，[m，n]不存在． （13分）

點評：本小題主要考查函數的奇偶性、直線的斜率、利用導數研究函數的單調性、利用導數求閉區間上函數的最值等基礎知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．