Question

已知矩形ABCD的邊AB=4cm，BC=3cm，如圖所示，矩形的頂點A，B為某一橢圓的兩個焦點，且橢圓經過矩形的另外兩個頂點C，D，試建立適當的坐標系，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：由題意建立直角坐標系，可得點A，B，C的坐標，設出橢圓的標準方程，根據題意知2a=AC+BC，求得a，進而根據b，a和c的關系求得b，則橢圓的方程可得．

解答：解：如圖，以O為原點，AB所在的直線為x軸建立坐標系，
由題意可得點A，B，C的坐標分別為（-2，0），（ 2，0），（ 2，3）．
設橢圓的標準方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
則2a=AC+BC，
即2a=5+3=8，所以a=4．
所以b²=a²-c²=16-4=12．
所以橢圓的標準方程是

x2

16

+

y2

12

=1．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程以及直線與橢圓的關系．屬于基礎題．