Question

(本小題滿分12分)

已知函數f(x)=alnx,(a∈R)g(x)=x²，記F(x)=g(x)-f(x)

（Ⅰ）判斷F(x)的單調性；

（Ⅱ）當a≥時，若x≥1，求證：g(x-1)≥f()；

（Ⅲ）若F(x)的極值為，問是否存在實數k，使方程g(x)-f(1+x²)=k有四個不同實數根？若存在，求出實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）的定義域為（0，+∞）， 

當時，>0恒成立  ∴在（0，+∞）上單調遞增；

當>0時，若，＜0  ∴在（0，）上單調遞減；

若＞，＞0，∴在（，+∞）上單調遞增．．．．．．．．．．．．．４分

（Ⅱ）令，則，

所以在［1，+∞）上單調遞增，∴，∴．．．８分

（Ⅲ）由（１）知僅當>0時，在＝處取得極值

由可得＝２　　　　∴．．．1

　令，得．．．2

　方程1有四個不同的根，則方程2有兩個不同的正根，

令，當直線與曲線相切時，由導數知識可得切點坐標（３，）   ∴切線方程為，其在y軸上截距為；

當直線在y軸上截距時，和在y軸右側有兩個不同交點，所以k的取值范圍為（，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

（附：也可用導數求解）

 

 

 

【解析】略