Question

已知函數(shù)f(x)=m-

1

1+ax

(a＞0且a≠1，m∈R)是奇函數(shù)．
（1）求m的值．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式0＜f(x2-x-2)＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故可得出f(0)=m-

1

1+a0

=0，由此方程解出參數(shù)m的值．
（2）此不等式是一個(gè)復(fù)合型的不等式，直接求解較難可先解出外層函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式的解集，再求內(nèi)層函數(shù)對(duì)應(yīng)不等式的解集即可得出所求不等式的解集．

解答：解：（1）由題意，函數(shù)f(x)=m-

1

1+ax

(a＞0且a≠1，m∈R)是奇函數(shù)．
∴f(0)=m-

1

1+a0

=0，解得m=

1

2

（2）由于a=2，結(jié)合（1）可得f(x)=

1

2

-

1

1+2x

=

2x-1

2(1+2x)

令0＜

2x-1

2(1+2x)

＜

1

6

，整理得1＜2^x＜2，解得0＜x＜1
再令0＜x²-x-2＜1，解得x∈(

1- 13

2

，-1)∪(2，

1+ 13

2

)
故不等式0＜f(x2-x-2)＜

1

6

的解集是(

1- 13

2

，-1)∪(2，

1+ 13

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)奇偶性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握理解函數(shù)的性質(zhì)，建立方程解出相應(yīng)參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式是函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)重要運(yùn)用，本題中所給的不等式是一個(gè)復(fù)合型的不等式，直接求解較困難，故本題采取了分步求解的策略，解題中注意借鑒．