Question

設(shè)集合，，又設(shè)函數(shù)f（x）=2x²+mx-1．
（1）若不等式f（x）≤0的解集為C，且C⊆（A∪B），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）若對(duì)任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，試求當(dāng)x∈（A∩B）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域．
（3）當(dāng)m∈（A∪B），x∈（A∩B）時(shí)，求證：．

Answer 1

解：（1）由題意，，
∴A∪B=[-1，1]
要使C⊆（A∪B），則
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥-1．
（2）
∵對(duì)任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1
∴m=-4
∴f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．
∵x∈（A∩B），
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/32642.png' />．
（3）m∈[-1，1]，x∈
∴f（x）的最小值為-1，最大值在端點(diǎn)處取得
∵

∴
分析：（1）先分別化簡(jiǎn)集合A，B，可求A∪B=[-1，1]，要使C⊆（A∪B），則，故得解；
（2）先求得），由于對(duì)任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，可知函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，從而可確定函數(shù)f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）的值域．
（3）m∈[-1，1]，x∈，從而f（x）的最小值為-1，最大值在端點(diǎn)處取得，故可證．
點(diǎn)評(píng)：本題以集合為載體，考查函數(shù)值域，考查函數(shù)的最值，關(guān)鍵是集合的化簡(jiǎn)．