Question

已知三點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量

OA

+K

OB

+(2-K)

OC

=

0

（k為常數且0＜k＜2，O為坐標原點，S_△BOC表示△BOC的面積）
（1）求cos（β-γ）的最值及相應的k的值；
（2）求cos（β-γ）取得最大值時，S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB．

Answer 1

分析：（1）將已知中的向量關系變形為等式的一邊有一個向量，將等式平方求出cos（β-γ）的函數式，分離常數，利用二次函數的最值求出范圍
（2）將k值代入向量等式求出三個向量的夾角，又三個向量的模相等，得到三個三角形全等，得到三角形的面積比．

解答：解：（1）由

OA

+K

OB

+(2-K)

OC

=

0

得k

OB

+(2-k)

OC

=-

OA

兩邊平方，得k²+（2-k）²+2k（2-k）cos（β-γ）=1
整理得cos(β-γ)=

2k2-4k+3

2k2-4k

=1+

3

2(k2-2k)

當k∈（0，2）時，k²-2k∈[-1，0），

3

2(k2-2k)

∈(-∞，-

3

2

]，1+

3

2(k2-2k)

∈(-∞，-

1

2

]
又cos（β-γ）∈[-1，1]，
∴cos(β-γ)∈[-1，-

1

2

]
當k=1時，cos（β-γ）取得最大值-

1

2

；
當k=

1

2

或k=

3

2

時，cos（β-γ）取得最小值-1．

（2）由（1）得，cos（β-γ）取得最大值-

1

2

時，k=1
此時，

OA

+

OB

+

OC

=

0

且

OB

與

OC

的夾角為120°．
又|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，(

OA

+

OB

)2=

OA

2+

OB

2+2

OA

•

OB

=1?

OA

•

OB

=-

1

2

∴

OA

與

OB

的夾角為120°．
故S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB=1：1：1．

點評：本題考查向量的運算法則、兩角和的公式、分離常數求二次函數的值域、利用向量的數量積求出向量的夾角．