Question

（本小題滿分12分）

某汽車生產企業上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應提高的比例為0．7x，年銷售量也相應增加．已知年利潤＝(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量．

(Ⅰ)若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？

(Ⅱ)年銷售量關于x的函數為y＝3240(－x²＋2x＋)，則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 0<x<時，本年度的年利潤比上年度有所增加．

(Ⅱ)當x＝時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元．

【解析】（Ⅰ）根據題意，要使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？首先表示出本年度的年利潤，根據原題中已知的年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量可表示出來．然后列出不等式得到x的取值范圍．

（Ⅱ）根據題意，要使本年度的年利潤最大，首先表示出本年度年利潤的函數表達式，然后求出此函數的導數為零時x的值，并且考慮導數大于零和小于零時函數的增減性可知此時的x值對應的函數值是函數的最值．

(Ⅰ)由題意得，上年度的利潤為(13－10)×5000＝15000萬元；本年度每輛車的投入成本為10(1＋x)；本年度每輛車的出廠價為13(1＋0．7x)；本年度年銷售量為5000(1＋0．4x)，因此本年度的利潤為y＝[13(1＋0．7x)－10(1＋x)]·5000(1＋0．4x)＝(3－0．9x)·5000(1＋0．4x)＝－1800x²＋1500x＋15000(0<x<1)，由－1800x²＋1500x＋15000>15000，解得0<x<，x在此范圍內，本年度的年利潤比上年度有所增加．

   (Ⅱ)本年度的利潤為f(x)＝(3－0．9x)·3240(－x²＋2x＋)＝3240×(0．9x³－4．8x²＋4．5x＋5)．則f′(x)＝3240(2．7x²－9．6x＋4．5)＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，當x∈(0，)時，f′(x)>0，f(x)是增函數；當x∈(，1)時，f′(x)<0，f(x)是減函數．∴當x＝時，f(x)取極大值f()＝20000萬元，∵f(x)在 (0,1)上只有一個極大值，∴它是最大值，∴當x＝時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元．