Question

（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若以為圓心，為半徑作圓，過(guò)橢圓上一點(diǎn)作此圓的切線，切點(diǎn)為，且的最小值不小于為．

（1）求橢圓的離心率的取值范圍；

（2）設(shè)橢圓的短半軸長(zhǎng)為，圓與軸的右交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）．

【解析】(1)根據(jù)圓的切線長(zhǎng)公式可得,顯然當(dāng)取得最小值時(shí)取得最小值,而,再根據(jù)的最小值為,可建立關(guān)于a,c的不等式，從而求出e的取值范圍.

(2)設(shè)直線l的方程為,然后與橢圓方程聯(lián)立消y得關(guān)于x的一元二次方程，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414505884685528/SYS201208241451371598839983_DA.files/image009.png">，所以再結(jié)合直線方程和韋達(dá)定理，建立關(guān)于k與a的等式關(guān)系.從而在直線方程中用a表示k,再把最終化成關(guān)于c的函數(shù)表達(dá)式，再利用率心率e的范圍，確定出c的范圍，求函數(shù)最值即可.

（1）依題意設(shè)切線長(zhǎng)

∴當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值時(shí)取得最小值，

而，．．．．．．2分

，，

從而解得，故離心率的取值范圍是；．．．．．．6分

（2）依題意點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為， 聯(lián)立方程組  

得，設(shè)，則有，，代入直線方程得，

，又，，

．．．．．． 10分

，直線的方程為，圓心到直線的距離，由圖象可知，

，，，所以．14分