Question

（2012•房山區一模）F是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，過焦點F且傾斜角為θ的直線交拋物線于A，B兩點，設|AF|=a，|BF|=b，則：
①若θ=60°且a＞b，則

a

b

的值為

3

；②a+b=

|AB|=

2p

sin2θ

或

2p(tan2θ+1)

tan2θ

（用p和θ表示）．

Answer 1

分析：①過A、B兩點向準線l作垂線AC、BD，由拋物線定義知：|AC|=|FA|=a，|BD|=|FB|=b，過B作BE⊥AC，E為垂足，則可得|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=a-b，|AB|=|FA|+|FB|=a+b，利用∠BAE=∠AFx=60°，可得結論；
②設直線方程為x=my+

p

2

，代入拋物線y²=2px可得y²-2pmy-p²=0，利用韋達定理，表示弦長，化簡可得結論．

解答：解：①過A、B兩點向準線l作垂線AC、BD，由拋物線定義知：|AC|=|FA|=a，|BD|=|FB|=b，
過B作BE⊥AC，E為垂足，∴|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=a-b，
又|AB|=|FA|+|FB|=a+b，∠BAE=∠AFx=60°．
在直角△AEB中，cos∠BAE=

|AE|

|AB|

，所以cos60°=

a-b

a+b

∴a=3b
∴

a

b

=3
②設直線方程為x=my+

p

2

，代入拋物線y²=2px可得y²-2pmy-p²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=2pm，∴x₁+x₂=2pm²+p
∴a+b=|AB|=x₁+x₂+p=2pm²+2p
當θ≠

π

2

時，∵

1

m

=tanθ，∴m=

1

tanθ

，∴a+b=|AB|=2pm²+2p=

2p(tan2θ+1)

tan2θ

=

2p

sin2θ

當θ=

π

2

時，|AB|=2p，結論同樣成立
故答案為：3；

2p

sin2θ

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查拋物線的定義，考查拋物線中弦長的計算，正確表示弦長是關鍵．