Question

設α和β為不重合的兩個平面，給出下列命題：
（1）若α內的兩條相交直線分別平行于β內的兩條直線，則α平行于β；
（2）若α外一條直線l與α內的一條直線平行，則l和α平行；
（3）設α和β相交于直線l，若α內有一條直線垂直于l，則α和β垂直；
（4）直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內的兩條直線垂直．
上面命題中，正確命題的個數是

2

  個．

Answer 1

分析：利用面面平行的判定定理可判斷（1）；利用線面平行的判定定理可判斷（2）；利用面面垂直的性質可判斷（3），利用線面垂直的性質可判斷（4）．

解答：解：（1）由面面平行的判定定理可知，若α內的兩條相交直線分別平行于β內的兩條直線，則α平行于β，正確；
（2）由線面平行的判定定理可知（2）正確；
（3）α和β相交于直線l，若α內有一條直線垂直于l，則不能推出α和β垂直，故（3）錯誤；
（4）直線l與α垂直⇒l與α內的兩條直線垂直，（充分性成立），反之不然（必要性不成立），故（4）錯誤．
綜上所述，①②正確．
故答案為：2．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理與性質，屬于中檔題．